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单调性与最大最小值检测试题

试题 时间:2021-03-06 信息举报 手机版

关于单调性与最大最小值检测试题

  1.函数f(x)=x2在[0,1]上的最小值是( )

  A.1 B.0

  C.14 D.不存在

  解析:选B.由函数f(x)=x2在[0,1]上的图象(图略)知,

  f(x)=x2在[0,1]上单调递增,故最小值为f(0)=0.

  2.函数f(x)=2x+6,x∈[1,2]x+7,x∈[-1,1],则f(x)的最大值、最小值分别为( )

  A.10,6 B.10,8

  C.8,6 D.以上都不对

  解析:选A.f(x)在x∈[-1,2]上为增函数,f(x)max=f(2)=10,f(x)min=f(-1)=6.

  3.函数y=-x2+2x在[1,2]上的最大值为( )

  A.1 B.2

  C.-1 D.不存在

  解析:选A.因为函数y=-x2+2x=-(x-1)2+1.对称轴为x=1,开口向下,故在[1,2]上为单调递减函数,所以ymax=-1+2=1.

  4.函数y=1x-1在[2,3]上的最小值为( )

  A.2 B.12

  C.13 D.-12

  解析:选B.函数y=1x-1在[2,3]上为减函数,

  ∴ymin=13-1=12.

  5.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )

  A.90万元 B.60万元

  C.120万元 D.120.25万元

  解析:选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15,x为正整数),则在乙地销售(15-x)辆,∴公司获得利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.∴当x=9或10时,L最大为120万元,故选C.

  6.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( )

  A.-1 B.0

  C.1 D.2

  解析:选C.f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a.

  ∴函数f(x)图象的'对称轴为x=2,

  ∴f(x)在[0,1]上单调递增.

  又∵f(x)min=-2,

  ∴f(0)=-2,即a=-2.

  f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.

  7.函数y=2x2+2,x∈N*的最小值是________.

  解析:∵x∈N*,∴x2≥1,

  ∴y=2x2+2≥4,

  即y=2x2+2在x∈N*上的最小值为4,此时x=1.

  答案:4

  8.已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是________.

  解析:由题意知f(x)在[1,a]上是单调递减的,

  又∵f(x)的单调减区间为(-∞,3],

  ∴1<a≤3.

  答案:(1,3]

  9.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最大值为________;最小值为________.

  解析:∵f(x)=xx+2=x+2-2x+2=1-2x+2,

  ∴函数f(x)在[2,4]上是增函数,

  ∴f(x)min=f(2)=22+2=12,

  f(x)max=f(4)=44+2=23.

  答案:23 12

  10.已知函数f(x)=x2 -12≤x≤11x 1<x≤2,

  求f(x)的最大、最小值.

  解:当-12≤x≤1时,由f(x)=x2,得f(x)最大值为f(1)=1,最小值为f(0)=0;

  当1<x≤2时,由f(x)=1x,得f(2)≤f(x)<f(1),

  即12≤f(x)<1.

  综上f(x)max=1,f(x)min=0.

  11.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.

  (1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆车?

  (2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

  解:(1)当每辆车的月租金为3600元时,未租出的车辆数为3600-300050=12.所以这时租出了88辆车.

  (2)设每辆车的月租金为x元.则租赁公司的月收益为f(x)=(100-x-300050)(x-150)-x-300050×50,

  整理得

  f(x)=-x250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050.

  所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金为4050元时,租赁公司的月收益最大.最大月收益为307050元.

  12.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.

  解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.

  ①当a<0时,由图①可知,

  f(x)min=f(0)=-1,

  f(x)max=f(2)=3-4a.

  ②当0≤a<1时,由图②可知,

  f(x)min=f(a)=-1-a2,

  f(x)max=f(2)=3-4a.

  ③当1≤a≤2时,由图③可知,

  f(x)min=f(a)=-1-a2,

  f(x)max=f(0)=-1.

  ④当a>2时,由图④可知,

  f(x)min=f(2)=3-4a,

  f(x)max=f(0)=-1.

  综上所述,当a<0时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;

  当0≤a<1时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;

  当1≤a≤2时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1;

  当a>2时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.

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