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数学平面向量课后题

试题 时间:2018-12-04 手机版

  数学的必修四便会学习到平面向量,这和物理必修一的内容也有一定的相关性,所以,我们更应该学好这一知识点。分享了数学平面向量的课后题及答案,一起来看看吧!

数学平面向量课后题

  一、选择题

  1.已知向量OA→=(3,-4),OB→=(6,-3),OC→=(2m, m+1).若AB→∥OC→,则实数m的值为(  )

  A.-3   B.-17

  C.-35   D.35

  解析 AB→=OB→-OA→=(3,1),因为AB→∥OC→,

  所以3(m+1)-2m=0,解得m=-3.

  答案 A

  2.已知|a|=|b|=2,(a+2b)(a-b)=-2,则a与b的夹角为(  )

  A.π6   B.π3

  C.π2   D.2π3

  解析 由(a+2b)(a-b)=|a|2+ ab-2|b|2=-2,得ab=2,即|a||b|cos〈a,b〉=2,cos〈a,b〉=12.故〈a,b〉=π3.

  答案 B

  3.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=(  )

  A.-2  B.-1

  C.1   D.2

  解析 ∵a=(1,2),b=(4,2),∴c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).又∵c与a的夹角等于c与b的夹角 ,∴cos〈c,a〉=cos〈c,b〉.∴ca|c||a|=cb|c||b|.即5m+85|c|=8m+2025|c|,解得m=2.

  答案 D

  4.)若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=(  )

  A.2   B.2

  C.1   D.22

  解析 ∵(a+b)⊥a,|a|=1,∴(a+b)a=0,

  ∴|a|2+ab=0,∴ab=-1.

  又∵(2a+b)⊥b,∴(2a+b)b= 0.

  ∴2ab+|b|2=0.∴|b|2=2.

  ∴|b|=2,选B.

  答案 B

  5.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(3sinA,sinB),n=(cosB,3cosA),若mn=1+cos(A+B),则C=(  )

  A.π6   B.π3

  C.2π3   D.5π6

  解析 依题意得 3sinAcosB+3cosAsinB=1+cos(A+B),

  3sin(A+B)=1+cos(A+B),3sinC+cosC=1,

  2sinC+π6=1,sinC+π6=12.又π6<C+π6<7π6,

  因此C+π6=5π6,C=2π3,选C.

  答案 C

  6.在平面上,AB1→⊥AB2→,|OB1→|=|OB2→|=1,AP→=AB1→+AB2→.若|OP→|<12,则|OA→|的取值范围是(  )

  A.0,52   B .52,72

  C.52,2   D.72,2

  解析  由题意得点B1,B2在以O为圆心,半径为1的圆上,点P在以O为圆心半径为12的圆内,又AB1→⊥AB2→,AP→=AB1→+AB2→,所以点A在以B1B2为直径的圆上,当P与O点重合时,|OA→|最大为2,当P在半径为12的圆周上,|OA→|最小为72.∵P在圆内,∴|OA→|∈72,2.

  答案 D

  二、填空题

  7.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λ a+b=0(λ∈R),则|λ|=________.

  解析 |b|=22+12=5,由λa+b=0,得b=-λa,

  故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=|b||a|=51=5.

  答案 5

  8.在△ABC中,BO为边AC上的中线,BG→=2GO→,若CD→∥AG→,且AD→=15AB→+λAC→(λ∈R),则λ的值为________.

  解析 因为CD→∥AG→,所以存在实数k,使得CD→=kAG→.CD→=AD→-AC→=15AB→+(λ-1)AC→,又由BO是△ABC的边AC上的中线,BG→=2GO→,得点G为△ABC的重心,所以AG→=13(AB→+AC→),所以15AB→+(λ-1)AC→=k3(AB→+AC→),由平 面向量基本定理可得15=k3,λ-1=k3,解得λ=65.

  答案 65

  9.在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→+PB→+PC→=AB→,则△PBC与△ABC的面积之比是________.

  解析 因为PA→+PB→+PC→=AB→,所以PA→+PB→+PC→+BA→=0,即PC→=2AP→,所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点,故S△PBCS△ABC=PCAC=23.

  答案 23

  三、解答题

  10.已知向量AB→=(3,1),AC→=(-1,a),a∈R

  (1)若D为BC中点,AD→=(m,2),求a,m的值;

  (2)若△ABC是直角三角形,求a的值.

  解 (1)因为AB→=(3,1),AC→=(-1,a),

  所以AD→=12(AB→+AC→)=1,1+a2.

  又AD→=(m,2),所以m=1,1+a=2×2,解得a=3,m=1.

  (2)因为△ABC是直角三角形,所以A=90°或B=90°或C=90°.

  当A=90°时,由AB→⊥AC→,

  得3×(-1)+1a=0,所以a=3;

  当B=90°时,因为BC→=AC→-AB→=(-4,a-1),

  所以由AB→⊥BC→,

  得3×(-4)+1(a-1)=0,所以a=13;

  当C=90° 时,由BC→⊥AC→,

  得-1×(-4)+a(a-1)=0,

  即a2-a+4=0,因为a∈R,所以无解.

  综上所述,a=3或a=13.

  11.在△ABC中,已知2AB→AC→=3|AB→||AC→|=3BC→2,求角A、B、C的大小.

  解 设BC=a,AC=b,AB=c.

  由2AB→AC→=3|AB→||AC→|,得2bccosA=3bc,

  所以cosA=32.

  又A∈(0,π),因此A=π6.

  由3|AB→||AC→|=3BC→2,得cb=3a2.

  于是sinCsinB=3sin2A=34.

  所以sinCsin5π6-C=34.

  sinC12cosC+32sinC=34,

  因此2sinCcosC+23sin2C=3,

  sin2C-3cos2C=0,

  即2sin2C-π3=0.

  由A=π6知0<C<5π6,

  所以-π3<2C-π3<4π3,

  从而2C-π3=0,或2C-π3=π,

  即C=π6或C=2π3,

  故A=π6,B=2π3,C=π6,或A=π6,B=π6,C=2π3.

  B级——能力提高组

  1.

  已知正三角形ABC的边长为1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上的动点,且AP→=λAB→,AQ→=(1-λ)AC→ ,λ∈R,则BQ→CP→的最大值为(  )

  A.32   B.-32

  C.38   D.-38

  解析 ,BQ→CP→=(BA→+AQ→)(CA→+AP→)=[BA→+(1-λ)AC→](CA→+λAB→)=AB→AC→-λAB→ 2-(1-λ)AC→2+λ(1-λ)AB→AC→=(λ-λ2+1)×cos60°-λ+λ-1=-12λ-122-38,0≤λ≤1,所以当λ=12时,BQ→CP→的最大值为-38,选D.

  答案 D

  2.已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值. 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).

  ①S有5个不同的值;

  ②若a⊥b,则Smin与|a|无关;

  ③若a∥b,则Smin与|b|无关;

  ④若|b|>4|a|,则Smin>0;

  ⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为π4.

  解析 对于①,若a,b有0组对应乘积,则S1=2a2+3b2,若a,b有2组对应乘积,则S2=a2+2b2+2ab,若a,b有4组对应乘积,则S3=b2+4ab,所以S最多有3个不同的值,①错误;因为a,b是不等向量,所以S1-S3=2a2+2b2-4ab=2(a-b)2>0,S1-S2=a2 +b2-2ab=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S30,④正确;对于⑤,|b|=2|a|,Smin=4|a|2+8|a|2cosθ=8|a|2,所以cosθ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3,⑤错误.因此正确命题是②④.

  答案 ②④

  3.已知向量m=3sinx4,1,n=cosx4,cos2x4.

  (1)若mn=1,求cos2π3-x的值;

  (2)记f(x)=mn,在△ABC中,角A ,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.

  解 (1)mn=3sinx4cosx4+cos2x4

  =32sin x2+12cosx2+12=sinx2+π6+12.

  又∵mn=1,∴sinx2+π6=12.

  cosx+π3=1-2sin2x2+π6=12,

  cos2π3-x=- cosx+π3=-12.

  (2)∵(2a-c)cosB=bcosC,

  由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

  ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC.

  ∴2sinAcosB=sin(B+C).

  ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0.

  ∴cosB=12.又∵0<B<π,∴B=π3.

  ∴0<A<2π3.

  ∴π6<A2+π6<π2,12<sinA2+π6<1.

  又∵f(x)=mn=sinx2+π6+12,

  ∴f(A)=sinA2+π6+12.


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