问题变式:结构与功能的统一的论文

　　摘要：数学问题变式可分为水平变式和垂直变式，问题变式本身展示了结构与功能的统一。

关键词：问题变式；结构；功能；认知

　　本文以数学问题变式为例，论述问题变式中结构与功能的统一。

　　近几十年来，数学学习中，问题受到了很好的注意。但很多研究更多地关注单个问题，数学问题与数学问题之间的关系，并未加以应有的关注。事实上，学生往往不是解一道题，而是解几道题，学生可能从题题之间不变的关系中抽象出数学意义，进而把问题分类，使题目类型化。变式教学是数学教师十分熟悉的教学思想、教学理念，这方面有很多实践，可理论研究还很弱。为什么该教学方法有用？变式教学的合理之处是什么？本文尝试以此为“透镜”，通过题题之间的结构，透视数学问题变式的功能。

　　最近，以Marton为首的欧洲学派的变式学习理论研究，逐步在香港教育界扎根并开花结果。Marton变式学习理论认为经历事物的方式就是学习（Marton & Booth，1997）。把“变的部分”和“不变的部分”加以区别，人们所经历的过程，称为变式学习。

一、数学教学中的问题变式

　　变式，可以说是中国内地“本土化”的实用教学经验。为了通俗地介绍变式题，笔者先从读小学时的一个小故事谈起。一位小学教师出了一道题：的是多少？当时大家都不会做。于是这位教师就说：“以后解题，凡看见××××的多少，用除法。看见××××是多少，用乘法。所以这道题用乘法。”于是我会做这类题了，却根本不懂什么意思。后来，这位数学教师继续上课，他用一串启发性的由浅入深的题组（下表），令我豁然开朗。这就是问题变式。

　　题目：的倍是多少？

　　我们一般把将源问题加以变化的这些新问题，称为变式题。将源问题加以变化，称为问题变式。

二、数学问题变式的结构

　　（一）问题的两重特征

　　每个数学问题可分解为表面形式特征和深层数学结构特征。表面形式特征是指问题呈现的表述方式的浅层特征；数学结构特征指涉及问题本质的概念、关系与原则等的深层特征。

　　例如，25个学生一起去划船。大船每条可以坐6人，租金10元；小船每条只可以坐4人，租金8元。应该怎样租船才付最少的租金呢？要租多少条大船？多少条小船？租金又是多少呢？这个问题的表面特征是问题情境的陈述：一系列数字。这些数字，经过调换，可以变化，但是对问题的本质影响不大。至于这一题目的数学结构特征则是：题目中涉及人数、大小船数、空位数和钱数共四个变量，学生需要综合思考四个变量之间的变化依赖关系。

　　问题的表面特征和数学结构特征彼此相异，又互相补充。数学结构特征必须通过表面形式特征来体现，表面形式特征可以反映数学结构特征。但是，数学结构特征反映问题“质”的方面，处于核心地位。

　　（二）问题变式的两类结构：水平变式和垂直变式

　　这里，我们提出一种新的分类。新问题相对源问题来说，学生能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，不带来认知负荷的变化，为水平变式；学生不能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，带来认知负荷的变化，为垂直变式。这里我们把“问题解决过程中，记忆容量和信息加工的负荷，统称为认知负荷（cognition load）。

　　这样，可按问题结构的变化分成不同的层次（垂直变式），在同一结构层次中，可以分成问题表面形式特征不同的变化（水平变式）。一般来说，题目的认知负荷要在学生可理解的范围即最近发展区内。

　　例如，源问题是：2的1倍是多少？变式题1是：2的2倍是多少？

　　相对源问题，变式题1的水平变式部分是：2的几倍是多少？1倍变为2倍是变化的新部分，若新部分不带来认知负荷的变化，为水平变式，否则是垂直变式。

　　还可以有变式题2：的2倍是多少？

　　相对变式题1，变式题2的水平变式部分是：几的2倍是多少？2变为是变化的新部分，增加了分数概念或小数的概念以及约分的技能的认知负荷。若学生能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，不带来认知负荷的变化，为水平变式，否则是垂直变式。这种区分，以学生的感知为标准。

　　教学的关键是化“难”为“易”，化“垂直变式”为学生容易理解的“水平变式”，化“大变”为学生容易区分的“小变”，化“质变”为“量变”，这是数学教学的重要技能。

　　值得一提的是，水平变式和垂直变式的划分是相对认知水平而言的。例如，上述问题变式对小学生而言，可能有认知负荷，那么是垂直变式，而对中学生而言，可能没有认知负荷，是水平变式。两类结构的区分主要以有无认知负荷为标准。

　　水平变式是问题表面重复部分，垂直变式是问题表面变化部分，增加了认知负荷，二者围绕数学结构“中心轴”发展，三者（水平部分，垂直部分，数学结构“中心轴”）形成了螺旋式发展问题空间。变式教学的精髓就是把认知负荷大的问题，分解为认知负荷小的问题，把垂直变式化为螺旋，循序渐进，分解水平变式。（这即是中国数学教学的传统策略“大化小，小化了，分而治之，分散难点”的做法。）

　　问题变式的优势在于“渐”。变式题不同于记忆型题目和高层思维型开放题，而是在记忆型题目和高层思维型开放题两个“极端”之间保持“平衡”，渐渐地增加认知负荷，更注意题与题之间的变化，由水平变式到垂直变式，逐步区分表面形式特征并提取数学结构的元素，逐步区分题目中的数学结构的元素，发现“变中的不变”，同时培养“以不变应万变”的能力，从量变到质变，渐渐领悟，把握数学教学的规律（如下页图）。

图1 问题变式结构示意图

　　（三）问题变式的意义

　　表面形式有差异的水平变式仍然有重要的价值。Marton变式学习理论认为，经验不断重复才能形成意义。重复是手段，扩展重复形成意识。第一次经历与第二次经历是互相弥补的。第一次关注理论描述效度。当第二次经历时，第一次所经历的方面被放大。第二次的经历“丰富”并“加深”第一次经历的各个方面。经历者与经验的关系只有第二次才能看到。第一次是第二次的基础，每次焦点不同，强调的方面也不同。学习经验的两个维度是直接维度（内容）和间接维度（方法）。学习是经验的“回归”方式，重复是手段，重复的意义在于保持某些方面变而其他方面不变，强调内容不变的某些方面，使其他在边缘的东西，慢慢淡化，突出主要因素，慢慢形成结构。

　　水平变式题虽然只是解题技能的简单重复，但量变是质变的基础，学生通过表面形式特征的重复，才能慢慢形成问题的图式，进而成为问题解决的基础。

　　当然，没有垂直变式题，只有水平变式是不行的。数学学习停留于浅层的学习是经验的浅层“回归”方式，不会实现深层意义的“回归”和深层结构的“回归”。按照Sfard（1991）数学概念的二重性分析，没有垂直变式题，只有水平变式，数学学习不能到达内化和浓缩化阶段，仅停留于过程性理解，难以生成概念性理解，难以生成抽象化和高层数学理解。