《函数的单调性》的说课稿(2)

　　问题2:能否根据自己的理解说说什么是增函数,减函数?

　　教学中,我引导学生用自己的语言描述增函数的定义:

　　如果函数f(x)在某个区间上的图象从左向右逐渐上升,或者如果函数f(x)在某个区间上随自变量 x 的增大,y 也越来越大,我们说函数f(x)在该区间上为增函数.

　　然后让学生类比描述减函数的定义.至此,学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识.

　　2. 探究规律,理性认识

　　在此环节中,我设计了两个问题,通过对两个问题的研究,交流,讨论,将 函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式, 使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度,使学生完成对概念的第二次认识

　　问题 1:下图是函数y?x?2

　　x(x?0) y 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增 函1x的图像，并且观察自

　　数和减函数吗? 函数和减函数吗?

　　对于问题 1,学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 通过讨论, 使学生感受到用函 数图象判断函数单调性虽然比较直观, 但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化,精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性, 从而将函数的单调性研究，从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.

　　问题 2:如何从解析式的角度说明f(x)?x2在 [0,+∞ ) 上为增函数?

　　在前边的铺垫下,问题 2 是形成单调性概念的关键.在教学中,我组织学生 先分组探究,然后全班交流,相互补充,并及时对学生的发言进行反馈,评价, 对普遍出现的问题组织学生讨论,在辨析中达成共识.

　　对于问题 2,学生错误的回答主要有两种:

　　(1)在给定区间内取两个数, 例如 1 和 2, 因为12?22,所以f(x)?x2在 [0,+∞) 上为增函数.

　　(2)仿(1),取很多组验证均满足,所以f(x)?x2在 [0,+∞) 上为增函数.

　　对于这两种错误,我鼓励学生分别用图形语言和文字语言进行辨析.引导学生明确问题的根源是两个自变量不可能被穷举.在充分讨论的基础上,引导学生从给定的区间内任意取两个自变量 x1,x2 ,然后求差比较函数值的大小,从而得到 正确的回答:

　　任意取0?x1?x2,有x1?x2?(x1?x2)(x1?x2)?0, 所以f(x)?x在 [0,+∞ )

　　为增函数.

　　这种回答既揭示了单调性的本质,也让学生领悟到两点:(1)两自变量的取值具有任意性;(2)求差比较它们函数值的大小.事实上,这种回答也给出了证明 单调性的方法,为后续用定义证明其他函数的单调性做好铺垫,降低难度.至此, 学生对函数单调性有了理性的认识.

　　3. 抽象思维,形成概念

　　本环节在前面研究的基础上,引导学生归纳,抽象出函数单调性的定义,使学生经历从特殊

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　　到一般,从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识

　　教学中,我引导学生用严格的数学符号语言归纳,抽象增函数的定义,并让学生类比得到减函数的定义.然后我指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念, 对定义中关键的地方进行强调.

　　同时我设计了一组判断题:

　　判断题: ①已知函数f(x)?1

　　x,因为f(?1)?f(2), 所以函数f(x)是增函数 .

　　②若函数f(x)满足f(2)?f(3),则函数f(x)在[2,3]上为增函数.

　　③若函数f(x)在 (1,2] 和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在(1,3)上为增函数. ④ 因为函数f(x)?1

　　x在(-∞,0)和(0,+∞ )上都是减函数 , 所以f(x)?1

　　x在(-∞,0)

　　∪(0,+∞ )上是减函数.

　　通过对判断题的讨论,强调三点:

　　①单调性是对定义域内某个区间而言的, 离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数), 有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数).

　　③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 A ∪ B 上是增(或减)函数.从而加深学生对定义的理解,完成本阶段的教学.

　　(三)掌握证法,适当延展

　　本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流,分析讲解以及反思小结,使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法,同时引导学生探究定义的等价形式,对证明方法做适当延展.

　　例 证明函数f(x)?x?2

　　x在(2,??)上是增函数.

　　在引入导数后,用定义证明单调性的作用已经有所降低,我选择一个较难的例子,主要是考虑让学生对证明过程中遇到的问题有一个比较深刻的认识.

　　证明过程的教学分为三个环节:难点突破,详细板书,归纳步骤.

　　1. 难点突破

　　对于函数单调性的证明, 由于前边有对函数f(x)?x在[0,+∞)上为增函数的研究作铺垫, 大部分学生能完成取值和求差两个步骤:

　　2

　　证明:任取x1,x2?(2,??), 且x1?x2,

　　f(x1)?f(x2)?(x1?2x1)?(x2?2x2)，

　　因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔; 另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论.

　　针对这两方面的问题 ,教学中,我组织学 生讨论,引导学生回 顾函数f(x)?x2在

　　[0,+∞)上为增函数的说明过程,明确变形的主要思路是因式分解.然后我引导学生从已有的认知出发,考虑分组分解法, 即把形式相同的项分在一起, 变形后容易找到公因式(x1?x2),提取后即可考虑判断符号.

　　2.详细板书

　　在上面分析的基础上,我对证明过程进行规范,完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯.

　　证明:任取任取x1,x2?(2,??), 且x1?x2, 设元

　　f(x1)?f(x2)?(x1?2x1)?(x2?2x2

　　2

　　x2) 求差 ?(x1?x2)?(2x1?) 变形 ?(x1?x2)?2(x2?x1)x1x2 ?(x1?x2)x2x1?2x1x2 由于x1,x2?(2,??)，得x1x2?2， 断号

　　又由x1?x2，得x1?x2?0

　　于是f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2) 所以，函数f(x)?x?

　　3.归纳步骤

　　2x在(2,??)上是增函数。 定论

　　在板书的基础上,我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤 (设元,求差,变形,断号,定论).通过对证明过程的分析,使学生明确每一步的必要性和目的,特别是第三步,让学生明确变形的方法以及变形的程度,帮助学生掌握方法,提高学生的推理论证能力. 为了巩固用定义证明函数单调性的方法,强化解题步骤,形成并提高解题能力,我设计了课堂练习:　　证明:函数f(x)?x在 [0,+∞) 上是增函数.

　　教学过程中,我引导学生分析这种叙述与定义的等价性.然后,让学生尝试用这种定义等价形式证明之前的课堂练习.这种方法进一步发展可以得到导数法,为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.

　　(四)归纳小结,提高认识

　　本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈, 组织和指导学生归纳知识, 技能, 方法的一般规律,深化对数学思想方法的认识,为后续学习打好基础.

　　1.学习小结

　　在知识层面上,引导学生回顾函数单调性定义的探究过程,使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识,体会到数学概念形成的主要三个阶段:直观感受,文字描述和严格定义.

　　在方法层面上,首先引导学生回顾判断,证明函数单调性的方法和步骤;然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法,如数形结合,等价 转化,类比等,重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结 果;同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.

　　2.布置作业

　　在布置书面作业的同时,为了尊重学生的个体差异,满足学生多样化的学 习需要,我设计了探究作业供学有余力的同学课后完成.

　　(1) 证明 : 函数f(x)在(a, b)上是增函的充要条件是对任意的x.,x?h?(a,b),且h ≠ 0, 有f(x?h)?f(x)

　　h?0

　　目的是加深学生对定义的理解, 而且这种方法进一步发展同样也可以得到导数法.

　　(2) 研究函数y?x?1

　　x(x?0)的单调性,并结合描点法画出函数的草图.

　　目的是使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程, 体会由数到形的

　　研究方法和引入单调性定义的必要性,加深对数形结合的认识.