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反比例函数的教学设计

教学设计 时间:2021-08-31 手机版

  知识技能目标

  1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质;

  2.利用反比例函数的图象解决有关问题.

  过程性目标

  1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,会说出它的性质;

  2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题.

  教学过程

  一、创设情境

  上节的练习中,我们画出了问题1中函数的图象,发现它并不是直线.那么它是怎么样的曲线呢?本节课,我们就来讨论一般的反比例函数(k是常数,k≠0)的图象,探究它有什么性质.

  二、探究归纳

  1.画出函数的图象.

  分析画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤,在反比例函数中自变量x≠0.

  解1.列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值:

  2.描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出在京各点点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.

  3.连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.

  上述图象,通常称为双曲线(hyperbola).

  提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?

  学生试一试:画出反比例函数的图象(学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤).

  学生讨论、交流以下问题,并将讨论、交流的结果回答问题.

  1.这个函数的图象在哪两个象限?和函数的图象有什么不同?

  2.反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内?由什么确定?

  3.联系一次函数的性质,你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加,函数y将怎样变化?有什么规律?

  反比例函数有下列性质:

  (1)当k>0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加而减少;

  (2)当k<0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增加.

  注1.双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点;

  2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称.

  以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义?

  在问题1中反映了汽车比自行车的速度快,小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少.

  在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小.

  三、实践应用

  例1若反比例函数的图象在第二、四象限,求m的值.

  分析由反比例函数的定义可知:,又由于图象在二、四象限,所以m+1<0,由这两个条件可解出m的值.

  解由题意,得解得.

  例2已知反比例函数(k≠0),当x>0时,y随x的增大而增大,求一次函数y=kx-k的图象经过的象限.

  分析由于反比例函数(k≠0),当x>0时,y随x的增大而增大,因此k<0,而一次函数y=kx-k中,k<0,可知,图象过二、四象限,又-k>0,所以直线与y轴的交点在x轴的上方.

  解因为反比例函数(k≠0),当x>0时,y随x的增大而增大,所以k<0,所以一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限.

  例3已知反比例函数的图象过点(1,-2).

  (1)求这个函数的解析式,并画出图象;

  (2)若点A(-5,m)在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?

  分析(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;

  (2)由点A在反比例函数的图象上,易求出m的值,再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.

  解(1)设:反比例函数的解析式为:(k≠0).

  而反比例函数的`图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2.

  所以,k=-2.

  即反比例函数的解析式为:.

  (2)点A(-5,m)在反比例函数图象上,所以,

  点A的坐标为.

  点A关于x轴的对称点不在这个图象上;

  点A关于y轴的对称点不在这个图象上;

  点A关于原点的对称点在这个图象上;

  例4已知函数为反比例函数.

  (1)求m的值;

  (2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y随x的增大如何变化?

  (3)当-3≤x≤时,求此函数的最大值和最小值.

  解(1)由反比例函数的定义可知:解得,m=-2.

  (2)因为-2<0,所以反比例函数的图象在第二、四象限内,在各象限内,y随x的增大而增大.

  (3)因为在第个象限内,y随x的增大而增大,

  所以当x=时,y最大值=;

  当x=-3时,y最小值=.

  所以当-3≤x≤时,此函数的最大值为8,最小值为.

  例5一个长方体的体积是100立方厘米,它的长是y厘米,宽是5厘米,高是x厘米.

  (1)写出用高表示长的函数关系式;

  (2)写出自变量x的取值范围;

  (3)画出函数的图象.

  解(1)因为100=5xy,所以.

  (2)x>0.

  (3)图象如下:

  说明由于自变量x>0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支.

  四、交流反思

  本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质.

  1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola).

  2.反比例函数有如下性质:

  (1)当k>0时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加而减少;

  (2)当k<0时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增加.

  五、检测反馈

  1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象:

  (1);(2).

  2.已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8,求:

  (1)y和x的函数关系式;

  (2)当时,y的值;

  (3)当x取何值时,?

  3.若反比例函数的图象在所在象限内,y随x的增大而增大,求n的值.

  4.已知反比例函数经过点A(2,-m)和B(n,2n),求:

  (1)m和n的值;

  (2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),且x1<0<x2,试比较y1和y2的大小.

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