《1.2 应用举例》测试题及答案参考(3)

　　无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

　　英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

　　当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。

　　18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

　　直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。

　　波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

　　19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

　　三角函数线

　　一、知识与技能

　　1. 会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值

　　2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；

　　3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题

　　二、过程与方法

　　1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；

　　2.让学生从所学知识基础上发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.

　　三、情感、态度与价值观

　　1.通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究获取知识.

　　2.通过三角函数线学习，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间

　　教学重点：三角函数线的作法及其简单应用

　　教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.

　　授课类型：新授课

　　课时安排：1课时

　　教学过程：

　　一、温故而知新

　　1. 前面我们学习了利用单位圆定义三角函数，

　　复习：1单位圆的定义：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

　　2 三角函数的定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:

　　(1)叫做的正弦(sine),记做,即；

　　(2)叫做的余弦(cossine),记做,即；

　　(3)叫做的正切(tangent),记做,即.

　　正弦函数,余弦函数,正切函数统称为三角函数

　　师：我们那么能否在此基础上用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.

　　二、研探新知

　　(1)设角的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作x轴的垂线,垂足M,

　　用的三角函数表示点P的坐标 ;

　　线段OM的长度|OM|= ;

　　线段MP的长度|MP|= .

　　(利用几何画板演示,角的变化过程中,角的终边和单位圆的交点坐标的变化)

　　|MP|=|y|=|sinα|, |OM|=|x|=|cosα|

　　(2)思考1:如何去掉上述等式中的绝对值符号,为此能否给线段OM,MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?

　　2.有向线段

　　我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.

　　当角的终边不在坐标轴上时, 规定：

　　(1) 以为始点、为终点的线段：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有

　　(2)以为始点、为终点的线段，当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有负值；其中为点的纵坐标.这样,无论那种情况都有

　　像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.

　　思考2:你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？

　　过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

　　(利用几何画板演示)

　　根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有

　　三、三角函数线

　　由上述四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，

　　于是有

　　我们把这三条与单位圆有关的有向线段分别称为角的正弦线,余弦线,正切线.他们统称三角函数线

　　几点说明：

　　①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。