(3)求△F1MF2的面积．
解析 (1)∵双曲线离心率e＝2，
设所求双曲线方程为x2－y2＝(0)，
则由点(4，－10)在双曲线上，
知＝42－(－10)2＝6，
双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)若点M(3，m)在双曲线上，则32－m2＝6，m2＝3，由双曲线x2－y2＝6知F1(23，0)，F2(－23，0)，
MF1MF2＝(23－3，－m)(－23－ 3，－m)＝m2－3＝0，
MF1MF2，故点M在以F1F2为直径的圆上．
(3)S△F1MF2＝12|F1F2||m|＝233＝6.
22．(12分)已知实数m1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点 S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t0)与曲线C有且只有一个交点？
(3)在(2)的条件下，证明：直线l上横坐标小于2的点P到点(1,0)的距离与到直线x＝2的距离之比的最小值等于曲线C的离心率．
解 析 (1)设S(x，y)，则kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.
由题意，得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(xm)．
∵m1，
轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.
(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x2)．
由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令＝64t2－362(t2－1)＝0，得t＝3.
∵t0，t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．
(3)由(2)知直线l的方程为2x－y＋3＝0，
设点P(a,2a＋3)(a2)，d1表示P到点(1,0)的距离，d2表示P到直线x＝2的距离，则
d1＝a－12＋2a＋32＝5a2＋10a＋10，
d2＝2－a，
d1d2＝5a2＋10a＋102－a＝5a2＋2a＋2a－22.
令f(a)＝a2＋2a＋2a－22， 则f(a)＝2a＋2a－22－2a2＋2a＋2a－2a－24
＝－6a＋8a－23.
令f(a)＝0，得a＝－43.
∵当a－43时，f(a)0；
当－432时，f(a)0.
f(a)在a＝－43时取得最小值，即d1d2取得最小值，
d1d2min＝5f－43＝22，又椭圆的离心率为22， d1d2的最小值等于椭圆的离心率．
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