【例4】 如图，H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足为P．求证：DP⊥PQ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP⊥PQ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC，只要证明△BPQ∽△CPD即可．
注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论．因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解 法，以培养我们发散思的能力．
【例5】 已知△ABC中，BC>AC，CH是AB边上的高，且满足 ，试探讨∠A与∠B的关系，井加以证明． (武汉市选拔赛试题)
思路点拨 由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A与∠B的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质， 推导判定两个三角形相似的条件．
注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题吗?并加以证明．
学力训练
1．如图，已知正方形ABCD的边长是1，P是CD边的中点 ，点Q在线段BC上，
当BQ= 时，三角形ADP与三角形QCP相似．
(云南省中考题)
2．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DF⊥CB于E，若BE=6，CE=4，则
AD= ．
3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，BC=2 ，AC=4，过AC的中点O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，则EF= ． (重庆市竞赛题)
4．P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )
A．1条 B． 2条 C．3条 D．4条
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